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圓錐曲線解題技巧歸納

時間：2023-01-04 09:09:28 挺教育

有關圓錐曲線解題技巧歸納

　　圓錐曲線作為高中數學解析幾何的重要知識點，其中蘊含著重要豐富的數學思想方法，解析幾何基本思想是使用幾何方法解決問題，也就是數形結合思想，所有的數學試題都不能離開形只談抽象數或者是研究圖。要求學生具備較扎實基礎知識及較強綜合能力。下面是小編給大家帶來的有關圓錐曲線解題技巧歸納，希望能幫到大家！

　　圓錐曲線解題技巧歸納

　　直線與圓錐曲線常見解題思想方法有兩種：幾何法與代數法，下面將具體分析下這兩種解題思想方法.

　　(一)幾何法

　　幾何法解決數學問題主要運用了數形結合思想，結合圓錐曲線定義、圖形、性質等題目中已知條件轉化成平面幾何圖形，并使用平面幾何有關基本知識例如兩點間線段最短、點到直線垂線段最短等來巧妙地解題.

　　(二)代數法

　　代數法主要是依據已知條件來構建目標函數，將其轉化成函數最值問題，再結合使用配方法、不等式法、函數單調性法及參數法等等來求最值.

　　直線與圓錐曲線的常見題型及解題技巧實例分析

　　(一)題型一：弦的垂直平分線問題

　　解題技巧及規律：題干中給出直線與曲線M過點S(-1，0)相交于A，B兩點，分析直線存在斜率并且不等于0，然后設直線方程，列出方程組，消元，對一元二次方程進行分析，分析判別式，并使用韋達定理，得出弦中點坐標，再結合垂直及中點，列出垂直平分線方程，求出N點坐標，最后結合正三角形性質：中線長是邊長的32倍，使用弦長公式求出弦長.

　　(二)題型二：動弦過定點問題

　　解題技巧及規律：第一問是使用待定系數法求軌跡方程;第二問中，已知點A1、A2的坐標，因此可以設直線PA1、PA2方程，直線PA1與橢圓交點是A1(-2，0)和M，結合韋達定理，能求出點M坐標，同理求出點N坐標.動點P在直線L：x=t(t>2)上，這樣就能知道點P橫坐標，根據直線PA1，PA2方程求出點P縱坐標，得出兩條直線斜率關系，通過計算出M，N點坐標，求出直線MN方程，代入交點坐標，如果解出是t>2，就可以了，否則不存在。

　　圓錐曲線解題技巧歸納

　　一、考查目標：

　　1、熟練掌握三大曲線的定義和性質;

　　2、能夠處理圓錐曲線的相關軌跡問題;

　　3、能夠處理圓錐曲線的相關定值、最值問題。

　　二、相關知識考查：

　　1、準確理解基本概念(如直線的傾斜角、斜率、距離等，也要注意斜率的存在與否)

　　2、熟練掌握基本公式(如兩點間距離公式、點到直線的距離公式、斜率公式、定比分點的坐標公式、到角公式、夾角公式等)

　　3、熟練掌握求直線方程的方法(如根據條件靈活選用各種形式、討論斜率存在和不存在的各種情況等等)

　　4、在解決直線與圓的位置關系問題中，要善于運用圓的幾何性質以減少運算

　　5、了解線性規劃的意義及簡單應用

　　6、熟悉圓錐曲線中基本量的計算

　　7、掌握與圓錐曲線有關的軌跡方程的求解方法(如：定義法、直接法、相關點法、參數法、交軌法、幾何法、待定系數法等)

　　8、掌握直線與圓錐曲線的位置關系的常見判定方法，能應用直線與圓錐曲線的位置關系解決一些常見問題。

　　三、常規七大題型：

　　(1)中點弦問題

　　具有斜率的弦中點問題，常用設而不求法(點差法)：設曲線上兩點為　　，代入方程，然后兩方程相減，再應用中點關系及斜率公式(當然在這里也要注意斜率不存在的請款討論)，消去四個參數。

　　如：

　　(1)　　與直線相交于A、B，設弦AB中點為　　，則有　　。

　　(2)　　與直線　　相交于A、B，設弦AB中點為　　,則有

　　(3)　　與直線　　相交于A、B設弦AB中點為　　,則有　　,即　　.

　　(2)焦點三角形問題

　　橢圓或雙曲線上一點P，與兩個焦點　　構成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。

　　(3)直線與圓錐曲線位置關系問題

　　直線與圓錐曲線的位置關系的基本方法是解方程組，進而轉化為一元二次方程后利用判別式、根與系數的關系、求根公式等來處理，應特別注意數形結合的思想，通過圖形的直觀性幫助分析解決問題，如果直線過橢圓的焦點，結合三大曲線的定義去解。

　　(4)圓錐曲線的相關最值(范圍)問題

　　圓錐曲線中的有關最值(范圍)問題，常用代數法和幾何法解決。

　　<1>若命題的條件和結論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質來解決。

　　<2>若命題的條件和結論體現明確的函數關系式，則可建立目標函數(通常利用二次函數，三角函數，均值不等式)求最值。

　　<1>可以設法得到關于a的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即：“求范圍，找不等式”。或者將a表示為另一個變量的函數，利用求函數的值域求出a的范圍;對于<2>首先要把△NAB的面積表示為一個變量的函數，然后再求它的最大值,即：“最值問題，函數思想”。

　　最值問題的處理思路：

　　1、建立目標函數。用坐標表示距離，用方程消參轉化為一元二次函數的最值問題，關鍵是由方程求x、y的范圍;

　　2、數形結合，用化曲為直的轉化思想;

　　3、利用判別式，對于二次函數求最值，往往由條件建立二次方程，用判別式求最值;

　　4、借助均值不等式求最值。

　　(5)求曲線的方程問題

　　1.曲線的形狀已知——這類問題一般可用待定系數法解決。

　　2.曲線的形狀未知——求軌跡方程

　　(6)存在兩點關于直線對稱問題

　　在曲線上兩點關于某直線對稱問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點所在的直線，求這兩直線的交點，使這交點在圓錐曲線形內。(當然也可以利用韋達定理并結合判別式來解決)

　　(7)兩線段垂直問題

　　圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用　　來處理或用向量的坐標運算來處理。

　　四、解題的技巧方面：

　　在教學中，學生普遍覺得解析幾何問題的計算量較大。事實上，如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達定理、曲線系方程，以及運用“設而不求”的策略，往往能夠減少計算量。下面舉例說明：

　　(1)充分利用幾何圖形

　　解析幾何的研究對象就是幾何圖形及其性質，所以在處理解析幾何問題時，除了運用代數方程外，充分挖掘幾何條件，并結合平面幾何知識，這往往能減少計算量。

　　(2) 充分利用韋達定理及“設而不求”的策略

　　我們經常設出弦的端點坐標而不求它，而是結合韋達定理求解，這種方法在有關斜率、中點等問題中常常用到。

　　(3) 充分利用曲線系方程

　　利用曲線系方程可以避免求曲線的交點，因此也可以減少計算。

　　(4)充分利用橢圓的參數方程

　　橢圓的參數方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解決相關的求最值的問題.這也是我們常說的三角代換法。

　　(5)線段長的幾種簡便計算方法

　　① 充分利用現成結果，減少運算過程

　　一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦AB長的方法是：把直線方程　　代入圓錐曲線方程中，得到型如　　的方程，方程的兩根設為　　，判別式為△，則　　，若直接用結論，能減少配方、開方等運算過程。

　　② 結合圖形的特殊位置關系，減少運算

　　在求過圓錐曲線焦點的弦長時，由于圓錐曲線的定義都涉及焦點，結合圖形運用圓錐曲線的定義，可回避復雜運算。

　　③ 利用圓錐曲線的定義，把到焦點的距離轉化為到準線的距離。

　　高考數學圓錐曲線復習方法

　　1、曲線與方程

　　首先第一個問題，我們想到的就是曲線與方程的這部分內容了。

　　在學習圓錐曲線這部分內容之前，我們最早接觸到的就是曲線與方程這部分內容。在這部分呢，我們要注意到的是幾種常見求軌跡方程的方法。在這里呢，簡單的說一下，一共有四種方法：1.直接法由題設所給(或通過分析圖形的幾何性質而得出)的動點所滿足的幾何條件列出等式，再用坐標代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法.

　　2、定義法

　　利用所學過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動點的軌跡方程，這種方法叫做定義法.這種方法要求題設中有定點與定直線及兩定點距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件.

　　3、相關點法

　　若動點P(x，y)隨已知曲線上的點Q(x0，y0)的變動而變動，且x0、y0可用x、y表示，則將Q點坐標表達式代入已知曲線方程，即得點P的軌跡方程.這種方法稱為相關點法(或代換法).

　　4、待定系數法

　　求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數法求

　　(二)橢圓，雙曲線，拋物線

　　這部分就可以研究第二個問題了呢。在橢圓，雙曲線以及拋物線里，最最重要的就是他們的標準方程，因為我們可以從它們的標準方程中看到許多東西，包括頂點，焦點，圖形的畫法等等等等，所以這個呢是要求我們必須要會的。(不會的通宵快去惡補~~~)

　　在一般做題的時候，我們要首先要根據題意來畫圖，這點特別重要，我們要清楚題目要我們求什么才能繼續做下去不是。接下來就是根據題意來寫過程了，我們的一般步驟呢都是建系，設點，聯立方程，化簡，判斷△，韋達定理，列關系式，整理，作答。在考試中，我們按照步驟一步一步的寫，寫到韋達定理至少8分有了。當然了，各圓錐曲線的幾何性質也尤其重要，包括離心率，頂點，對稱性，范圍，以及焦點弦，準線，漸近線等等。這些性質大家也要熟練掌握并且會應用。在這部分呢，還有很多很多的專題，譬如弦長問題，那大家還記得弦長公式嗎?中點弦問題，我們通常會用到點差法，那么何為點差法呢?就是把兩點坐標代入曲線方程作差后得到直線的斜率和弦中點坐標之間的關系式，這種方法。還有一類問題就是直線與圓錐曲線的位置關系。分為三大類：有直線與橢圓的位置關系，就是看△;直線與雙曲線的位置關系，先看聯立之后的方程中的a，如果a=0方程有一解，直線與雙曲線有一個公共點(直線與漸近線平行)，a≠0的時候，還是看△啦;而直線與拋物線與直線與雙曲線的位置關系是類似的，當a=0直線與拋物線有一個公共點(直線與拋物線的軸平行或重合)，a≠0的時候，還是看△。

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